ปีทาโกรัส เป็นที่รู้จักกันดีในฐานะของนักคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นสูตรคูณ หรือตารางปีทาโกเรียน
(PythagoreanTable) และทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก" ซึ่งทฤษฎีทั้งสองนี้เป็นที่ยอมรับ และใช้กันมาจนปัจจุบันนี้
ปีทาโกรัสเกิดเมื่อประมาณ 582 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองซามอส (Samos) ประเทศกรีซ ปีทาโกรัสเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์ ทฤษฎีของเขาได้นำมาพิสูจน์และพบว่าถูกต้องน่าเชื่อถือและใช้กันมาจนถึงปัจจุบันนี้ เนื่องจากปีทาโกรัสเป็นนัก ปราชญ์ที่เกิดก่อนคริสต์ศักราชถึง 500 ปี ดังนั้นประวัติชีวิตส่วนตัวของเขาจึงไม่มีการบันทึกไว้มากนัก เท่าที่มีการบันทึกไว้พบว่า เขาเป็นคนฉลาดหลักแหลม มีความสามารถ และเป็นที่นับถือของชาวเมืองมากทีเดียว เมื่อปีทาโกรัสอายุได้ 16 เขาได้เดินทางไป
ศึกษาวิชากับเทลีส (Thales) นักปราชญ์เอกคนแรกของโลก แม้ว่าเทลีสจะเป็นผู้ที่มีความรู้กว้างขวางในหลายสาขาวิชา และได้ถ่ายทอดความรู้เหล่านั้นให้กับปีทาโกรัสจนหมดสิ้น แต่ปีทาโกรัสก็ยังต้องการศึกษาหาความรู้เพิ่มเติมอีก ดังนั้นในปี 529 ก่อนคริสต์ศักราช ปีทาโกรัสจึงออกเดินทางไปตามเมืองต่าง ๆ เช่น อาระเบีย เปอร์เซีย อินเดีย และอียิปต์ตามลำดับ เขาได้กลับจากการเดินทางกลับเกาะซามอส และพบว่าเกาะซามอสได้อยู่ในความปกครองของโพลีเครตีส (Polycrates) และอีกส่วนหนึ่งได้ตกเป็นของเปอร์เซีย เมื่อปีทาโกรัสเห็นเช่นนั้น จึงเดินทางออกจากเกาะซามอสไปอยู่ที่เมืองโครตอน (Croton) ซึ่งตั้งอยู่ทางตอนใต้ของประเทศอิตาลี และที่เมืองโครตอนนี้เองปีทาโกรัสได้ตั้งโรงเรียนขึ้น โรงเรียนของปีทาโกรัสจะสอนเน้นหนักไปในเรื่องของปรัชญาคณิตศาสตร์ และดาราศาสตร์ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ปีทาโกรัสได้กล่าวว่า "คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของทุกสิ่งทุกอย่าง ถ้าไม่มีคณิตศาสตร์แล้ว ทุกอย่างก็จะไม่เกิดขึ้น" ข้อเท็จจริงข้อนี้ถือว่าถูกต้องที่สุด เพราะไม่ว่าจะเป็นการก่อสร้าง การคำนวณหาระยะทางหรือแม้กระทั่งการประดิษฐ์เครื่องใช้ การค้นพบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของเขา ได้แก่ การพบเลขคี่ โดยเลข 5 เป็นเลขคี่ตัวแรกของโลกและเลขยกกำลังสอง นอกจากนี้ปีทาโกรัสยังแบ่งคณิตศาสตร์ออกเป็น 2 สาขา คือ
1. เลขคณิต ซึ่งเป็นเรื่องเกี่ยวกับตัวเลข
2. เรขาคณิต เป็นเรื่องเกี่ยวกับรูปทรงต่าง ๆ เช่น สี่เหลี่ยม วงกลม สามเหลี่ยม และหกเหลี่ยม เป็นต้น
ซึ่งวิชานี้มีประโยชน์อย่างมากในทางสถาปัตยกรรม และทฤษฎีบทเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุดของปีทาโกรัสก็คือ "ในรูปสาม
เหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบ
มุมฉาก"
ศึกษาวิชากับเทลีส (Thales) นักปราชญ์เอกคนแรกของโลก แม้ว่าเทลีสจะเป็นผู้ที่มีความรู้กว้างขวางในหลายสาขาวิชา และได้ถ่ายทอดความรู้เหล่านั้นให้กับปีทาโกรัสจนหมดสิ้น แต่ปีทาโกรัสก็ยังต้องการศึกษาหาความรู้เพิ่มเติมอีก ดังนั้นในปี 529 ก่อนคริสต์ศักราช ปีทาโกรัสจึงออกเดินทางไปตามเมืองต่าง ๆ เช่น อาระเบีย เปอร์เซีย อินเดีย และอียิปต์ตามลำดับ เขาได้กลับจากการเดินทางกลับเกาะซามอส และพบว่าเกาะซามอสได้อยู่ในความปกครองของโพลีเครตีส (Polycrates) และอีกส่วนหนึ่งได้ตกเป็นของเปอร์เซีย เมื่อปีทาโกรัสเห็นเช่นนั้น จึงเดินทางออกจากเกาะซามอสไปอยู่ที่เมืองโครตอน (Croton) ซึ่งตั้งอยู่ทางตอนใต้ของประเทศอิตาลี และที่เมืองโครตอนนี้เองปีทาโกรัสได้ตั้งโรงเรียนขึ้น โรงเรียนของปีทาโกรัสจะสอนเน้นหนักไปในเรื่องของปรัชญาคณิตศาสตร์ และดาราศาสตร์ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ปีทาโกรัสได้กล่าวว่า "คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของทุกสิ่งทุกอย่าง ถ้าไม่มีคณิตศาสตร์แล้ว ทุกอย่างก็จะไม่เกิดขึ้น" ข้อเท็จจริงข้อนี้ถือว่าถูกต้องที่สุด เพราะไม่ว่าจะเป็นการก่อสร้าง การคำนวณหาระยะทางหรือแม้กระทั่งการประดิษฐ์เครื่องใช้ การค้นพบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของเขา ได้แก่ การพบเลขคี่ โดยเลข 5 เป็นเลขคี่ตัวแรกของโลกและเลขยกกำลังสอง นอกจากนี้ปีทาโกรัสยังแบ่งคณิตศาสตร์ออกเป็น 2 สาขา คือ
1. เลขคณิต ซึ่งเป็นเรื่องเกี่ยวกับตัวเลข
2. เรขาคณิต เป็นเรื่องเกี่ยวกับรูปทรงต่าง ๆ เช่น สี่เหลี่ยม วงกลม สามเหลี่ยม และหกเหลี่ยม เป็นต้น
ซึ่งวิชานี้มีประโยชน์อย่างมากในทางสถาปัตยกรรม และทฤษฎีบทเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุดของปีทาโกรัสก็คือ "ในรูปสาม
เหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบ
มุมฉาก"
ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่าสมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง
โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสองรูป
บนด้านประชิดมุมฉาก (a และ b) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (c)
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์ แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เป็นทรงตัน n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความยากจะเข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยมมากมายทั้งในวรรณกรรม ละคร ละครเพลง เพลง แสตมป์และการ์ตูน
รูปอื่นๆ
ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น หาก c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาวของอีกสองด้านที่เหลือแล้ว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการพีทาโกรัสได้ดังนี้
ถ้าทราบความยาวของทั้ง a และ b ค่า c จะสามารถคำนวณได้ดังนี้
ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก c และด้านประชิดมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง (a หรือ b) แล้ว ความยาวด้านที่เหลือสามารถคำนวณได้ดังนี้
หรือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำหนดความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างง่าย เพื่อที่ว่าถ้าทราบความยาวของด้านสองด้าน ก็จะสามารถหาความยาวของด้านที่เหลือได้ อีกบทแทรกหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าสองด้านที่เหลือ แต่สั้นกว่าผลรวมของทั้งสอง
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถกล่าวโดยสรุปได้เป็นกฎของโคซายน์ ซึ่งเมื่อให้ความยาวของด้านทั้งสองและขนาดของมุมระหว่างด้านนั้นมา จะสามารถคำนวณหาความยาวด้านที่สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ ถ้ามุมระหว่างด้านเป็นมุมฉาก กฎของโคซายน์จะย่อลงเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส
การพิสูจน์
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์มากกว่าทฤษฎีบทอื่น หนังสือ The Pythagorean Proposition มีการพิสูจน์มากถึง 370 แบบ
ภาพเคลื่อนไหวแสดงการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
การพิสูจน์โดยการจัดเรียงรูปสามเหลี่ยมใหม่
การพิสูจน์โดยการจัดเรียงพื้นที่
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั้นเป็นจริง โดยกล่าวไว้ดังนี้
กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่
ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า
สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า
ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ
จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
· ถ้า
· ถ้า
· ถ้า
1. ↑ Judith D. Sally, Paul Sally (2007). "Chapter 3: Pythagorean triples". Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society Bookstore. p. 63. ISBN 0821844032.
อ้างอิง
1. ↑ Judith D. Sally, Paul Sally (2007). "Chapter 3: Pythagorean triples". Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society Bookstore. p. 63. ISBN 0821844032.
2. ↑ George Johnston Allman (1889). Greek Geometry from Thales to Euclid (Reprinted by Kessinger Publishing LLC 2005 ed.). Hodges, Figgis, & Co. p. 26. ISBN 143260662X. "The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by – amongst others – Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch ..."
4. ↑ Otto Neugebauer (1969). The exact sciences in antiquity (Republication of 1957 Brown University Press 2nd ed.). Courier Dover Publications. p. 36. ISBN 0486223329.. For a different view, see Dick Teresi (2003). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science. Simon and Schuster. p. 52. ISBN 074324379X., where the speculation is made that the first column of a tablet 322 in the Plimpton collection supports a Babylonian knowledge of some elements of trigonometry. That notion is pretty much laid to rest by Eleanor Robson (2002). "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 109 (2): 105–120. doi:10.2307/2695324. JSTOR 2695324. See also pdf file. The accepted view today is that the Babylonians had no awareness of trigonometric functions. See Abdulrahman A. Abdulaziz (2010). "The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples". arΧiv:1004.0025. §2, page 7.
5. ↑ Mario Livio (2003). The golden ratio: the story of phi, the world's most astonishing number. Random House, Inc. p. 25. ISBN 0767908163.
7. ↑ Judith D. Sally, Paul Sally (2007-12-21). "Theorem 2.4 (Converse of the Pythagorean Theorem).". Cited work. p. 62. ISBN 0821844032.
แหล่งข้อมูลอื่น
วันที่ 6 กันยายน 2556
